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教數學不靠技巧 訓練抽象思維

醒報編輯部 2018/07/10 10:43 點閱 6840 次

數學的重要性

數學是什麼?自然之書是用數學語言寫成的。──克卜勒(Johannes Kepler, 1571-1630),天文學家。科學的皇后,數學是科學的皇后,而算術是數學的皇后。──高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855),數學家

在小學二年級的課裡,我想要解釋數的重要性,就給小朋友講個故事,述說有位國王非常痛恨數字,甚至禁止在王國裡使用數字。我和小朋友一起努力想像沒有數字的世界會怎樣,結果發現生活會非常受限制。

因為不准提兒童的年齡,所以各種年齡的兒童一律歸到同個年級。此外,你無法付錢買菜,也無法安排約會,因為你不准提在幾點或幾分。這只是舉例說明數學在我們生活裡的重要性。隨著文明與技術的進步,我們的生活愈來愈需要倚賴數學。

數學用處廣

諾貝爾物理獎得主溫柏格(Steven Weinberg)在他寫的《終極理論之夢》(Dreams of a Final Theory)書中,專門花了兩章討論物理以外的題材,一章是數學,一章是哲學。在書中他說,他一再出乎意料的發現,數學多麼有用,而哲學多麼白費氣力。

要理解為什麼會這樣,必須理解數學是什麼,這可不是簡單的問題,就連專業數學家也難以回答。

羅素(Bertrand Russell)曾經說數學家「都不懂自己在搞什麼。」(他對哲學家的批評更嚴苛,在他的眼裡,哲學家「只是瞎子在暗室裡尋找根本不存在的黑貓。」)他的說法在某種意義上確實為真:就是絕大多數的數學家都懶得自問數學是什麼,確切一點的說,沒想解釋他們到底在忙什麼。

數學是抽像的

想要回答這個問題,我們先從一個簡單的例子來看:3 + 2 = 5的意義是什麼?

在一年級班上,我請小朋友檢查3枝鉛筆加2枝鉛筆,結果有多少枝鉛筆。他們懂得「加」的意思就是「放在一起」,因此他們把3枝鉛筆與2枝鉛筆放在一起,然後再數有多少:答案是5枝鉛筆。

接著我問:「當你把3枚鈕釦加2枚鈕釦,會得到多少鈕釦?」他們毫不猶豫的回答:「5枚鈕釦。」我再追問:「你們怎麼知道?」「由前一個問題就知道啦!」「但是前一個問題是關於鉛筆,也許會跟鈕釦不一樣啊?」他們就都笑了。這個問題並不是毫無意義的,恰恰相反,它隱含了數學的祕密──抽象。

問題裡的東西是鉛筆、鈕釦,還是蘋果,都沒有關係,答案都相同,這也是我們可以抽象的說出3 + 2 = 5的理由。

從思想過程中精煉

這是基本但具代表性的例子:數學是從思想過程中精煉出來的。很顯然,思想或多或少都是抽象的,然而數學的獨特性在於它把最基本的思想過程抽取出來。

在3 + 2 = 5的例子裡,涉及的過程是把東西放一起:3個東西與2個東西。對於這些東西可以問很多問題:是鉛筆還是蘋果?在你手裡還是在桌子上?如果在桌子上,那麼是如何擺放的?數學忽略掉所有這些細節,它要問的問題與這些細節無關,僅僅關於東西放在一起的事實:最終的數量是多少,也就是總共有多少東西?

人類能宰制環境的祕密就在於具有抽象思維,抽象的威力幫助我們有效率的活在世上,換句話說,就是可以省點力氣。抽象能幫助我們跨越「此時此地」的局限──此時此地發現的東西,也可以在別的時間與地點使用。如果3枝鉛筆加2枝鉛筆等於5枝鉛筆,那麼蘋果也該這麼加,明天來算也一樣。花一次氣力就能提供整個世界相通的道理。

學數學倍感煎熬

如果一般而論抽象有用,那麼數學會更有用,因為數學把抽象做到極致。於是乎,數學如此有用又切合實際,就不令人吃驚了。

每個人都該學數學嗎?別人在知道我是數學家時,常常會露出一絲苦澀的微笑說:「數學不曾是我的強項。」正因為太多人學習數學的經驗是那麼倍感煎熬,所以每個世代都會問同樣的問題──學數學所為何來?為什麼有必要接受這種折磨?大多數的人是不是應該乾脆放棄學習數學?今日的計算機可以即刻算出各種數學運算結果,學習乘法表或長除法還有什麼意義?

有一個答案是,眾多職業都需要用到精確科學的知識,而數學是開啟這些知識的鑰匙。其實數學很重要,並不只是因為要用它來理解實存世界,而是數學能提供更多東西──它教導用精準有序的方式進行抽象思維。

能改善邏輯思想

它能改善基本的思想習慣,例如區分本質性與非本質性的能力,以及得出邏輯結論的能力。這些能力都是學校教育所提供最有價值的資產。

然而還有一個問題沒有回答──為什麼學數學會那麼困難?數學注定要讓人受苦嗎?現在流行的答案是「並非如此」──問題出在教學上。

一般的見解是認為,很多遭遇「學習障礙」的孩童,其實是遭遇「教學障礙」,但是問題不可能那麼單純,只是責備教師有點太簡化問題,而且也不合理。任何主張千百年來數學教師都教得一塌糊塗的人,必須為此提出解釋,同時說明為什麼別的科目不會如此。

從具體到抽象

數學教學的特殊問題在於傳達抽象觀念很困難;你能告訴別人智利首都的名字,卻不能幫人們進行抽象化。

這是每個人必須親自完成的過程,每個人必須走過從具體到抽象的每一個心理步驟,在這個過程中,教師的角色在於引導學生按照正確順序,逐步完成體驗原理的經歷。這不是容易學的簡單技藝,然而也不是全無可能學會。本書的目標之一,

小學算術教什麼,怎麼教:家長須知,也是教師指南
Arithmetic for Parents: A Book for Grownups about Children’s Mathematics
作者:阿哈羅尼
原文作者: Ron Aharoni
譯者: 李國偉
出版社:天下文化
出版日期:2018/05/31


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