2008年，英國政府決定，13歲以下的女孩要接種人類乳突病毒（HPV）疫苗，以防治子宮頸癌。這項全國計畫受到民眾讚賞，認為每年可拯救數百位女性的生命。然而，計畫推行後不久，媒體似乎有極具說服力的證據，證明這種看法太過樂觀。
媒體報導，14歲女孩娜塔莉．摩頓在接種疫苗後數小時死亡。衛生當局的反應是檢查疫苗庫存，回收可能有問題的疫苗。然而，有人覺得這樣做還不夠，要求中止大規模的接種疫苗計畫。
害死人的疫苗？
有些人會堅持引用所謂的「預防性原則」，簡單說就是「小心駛得萬年船」。然而，這裡的風險在於，解決了一個問題，卻製造出另一個問題：計畫喊停雖然能消除接種者死亡的全部風險，子宮頸癌的問題卻仍然沒有解決。
此外還有一種風險，是一個值得認識的陷阱。邏輯學家把這個陷阱稱為「後此謬誤」（Post hoc,ergo propter hoc），即「因為發生在後，就以為有因果關係」。以娜塔莉的死亡為例，陷阱就在於有人可能會因為她在接種疫苗後死亡，就認為接種疫苗必然是死因。
事情必然是先有因，後有果；然而把這個邏輯反轉過來，卻有其危險：車禍事件的受害者，出發前通通有繫安全帶，但這可不表示繫安全帶會導致車禍。
比例是多少？
不過，我們姑且設想最糟的狀況：娜塔莉的死亡，真的是對疫苗的不良反應所造成。根據無法無天第一定律，理解這類事件的最佳方式是著眼於相關比例，而不是個別案例。這個事件的相關比例是多少？
娜塔莉死亡時，已有130萬名女孩接種了同樣的疫苗，這表示死亡事件的相對頻率，大約是100萬分之1。這個比例說服了英國政府，儘管面對反接種人士的抗議，還是在把可能有問題的疫苗回收後，繼續推動這項計畫。若娜塔莉果真是對疫苗產生罕見反應而喪命，政府採取的回應行動也屬合理。
病因是腫瘤
娜塔莉的驗屍結果顯示，她的胸部有惡性腫瘤，死亡與接種疫苗無關。因此，娜塔莉的死亡不是罕見的疫苗反應，是媒體落入了後此謬誤的陷阱。即使如此，當局回收可能有問題的疫苗，而不是撤銷整個計畫，是正確的做法。當然，這不一定就是真相。
娜塔莉可能是原發病例，是疫苗測試時未曾出現過的反應。深入研究這個案例的成因，尋找是否可能會出現更多案例的證據，顯然是正確的做法。
應注意相對頻率
我們不應過度受個別案例影響，而是應該注意相對頻率，並在正確的脈絡下看待這類案例。只因為發生少數一次性事件，就決心做些「改善」的經理人、行政主管與政治人物，可以從這個案例學到更多課題。他們若忽略了這點，等於甘冒因極罕見事件而採取行動的風險。
更糟的是，他們可能會根據罕見案例的「改進」，對同樣很少的資料組進行測試，又把注意力放在原始次數而非相對頻率，從而得出錯得離譜的結論。從頻繁發生的客訴到員工建議全盤改變工作方法，全都可能起因於少數不見得重要的傳聞。
受到神秘詛咒的公司
1980年代，位於英國的國防包商馬可尼通用電氣，因為一連二十多起技術人員自殺、死亡與失蹤案件，成為媒體報導焦點。開始有人提出陰謀論，而有些受害人參與機密計畫的事實，更使得這種論調甚囂塵上。
雖然這些傳聞很引人入勝，不過我們應該無視於小道消息，把注意力放在相對頻率上。在這個案例中，就是比較馬可尼發生特殊事件，以及預期一般大眾發生特殊事件的相對頻率。
一經比較就會發現，馬可尼是一家員工超過三萬人的大型公司，而那些死亡案例是在8年內陸續發生的；這表示以馬可尼的規模，那些「神秘」的死亡和失蹤案，也許並不值得大驚小怪。最起碼警方的後續調查結論就如此，不過陰謀論一直到今日還未平息。
法國也出事
平心而論，媒體近來已經開始注意比較相對頻率的重要性。2010年，法國電信公司登上頭版，因為它在2008年到2009年間，發生了30起自殺案件，次數媲美馬可尼。
2014年，這家當時已改名為橘子電信的公司，短短數個月內又出現10起自殺案，舊帳也因此再被翻出來。這一回的解釋是工作壓力，不過與報導馬可尼案件時截然不同的是，有些記者提到了第一定律的關鍵問題：以一家員工約100,000人的大型公司，這些自殺案件的發生頻率，是否真有異常？
然而這就引出一個棘手問題：該用什麼樣的相對頻率比較才適當？以橘子電信來說，是用全國自殺率（法國的自殺率是出名地高，比歐盟平均值高出40％）？還是用某個特定數字，如某個年齡層的自殺率（在法國，自殺是25歲到34歲的主要死因）？或是採用某個社經族群的自殺率？
從相對頻率著手
橘子電信案件尚未裁決；有人說這可能是統計上的異常，有人則堅稱工作壓力是自殺的真凶。真相很有可能永遠無法大白。
無論真相如何，要解讀這類問題，應該要從相對頻率著手。舉凡政府公共衛生運動、跨國企業聘僱員工等任何事，只要牽扯的人夠多，就有成為頭條新聞的潛能，儘管佐證的事件看似有說服力，究其實卻沒有太大意義。
百慕達奇案解秘
解讀詭異言論和陰謀論時，相對頻率特別管用。就以惡名昭彰的百慕達三角為例。百慕達三角位於西大西洋，船隻和飛機經常在那裡失蹤。自1950年代以來，有無數報告指出，船隻飛機一旦進入由邁阿密、波多黎各和百慕達島所構成的三角形區域，就厄運難逃。世人提出許多理論解釋這些事件，從幽浮攻擊到瘋狗浪都有。
現在，不要著眼於「離奇」失蹤的原始次數，而是要和大西洋其他區域發生失蹤案件的相對頻率比較。如此一來，你就會驚奇地發現：所有那些原因不明的失蹤案件，完全有可能發生。
每年有數萬艘船隻飛機，穿越這塊廣達100萬平方公里的領空和海域，即使把所有無法解釋的怪事都算進來，百慕達三角甚至擠不進全世界十大危險海洋區。世界知名保險集團勞合社精明的保險精算師，當然不會因為百慕達「離奇」傳聞的原始次數而不安。他們並沒有因為船隻或飛機勇闖百慕達而加收保險費用。
神秘鐵達尼預言
關於1912年4月的鐵達尼號（Titanic）事件，有人說早在船難發生的14年前，已經有一本書精準預言種種細節：美國作家摩根．羅伯森1898年出版的短篇故事〈徒勞無功〉，敘述一個名叫約翰．羅蘭德的甲板水手故事；他在史上最大艘船隻上工作，4月某個夜晚，船在於北大西洋撞上冰山沉沒，造成重大死傷。猜猜看這艘船叫什麼名字？「泰坦號」（Titan）。
兩件事的雷同之處不只於此。在羅伯森筆下，這艘船全長240公尺，跟鐵達尼號差不多；它被譽為「不沉之船」；而船上搭載的救生艇，不到船上人員所需的一半；它甚至跟鐵達尼號一樣，都是右舷撞上冰山。
這一連串的巧合當然令人驚嘆，讓人不禁懷疑羅伯森寫作本書時，是否感應到什麼預兆。也許他真的有所感應，但還不如說故事劇情正好展現非獨立事件會造成何等的巧合。〈徒勞無功〉發表時，國際間已經展開打造巨無霸客輪的比賽，競逐頒給最快速大西洋客輪的藍絲帶獎。
事出早有因
十九世紀最後十年，最大型的船隻已從全長大約170公尺，增加到遠超過200公尺，因此240公尺顯然並非不可能。至於這種龐然大物會發生什麼大災難，當時已有人發覺冰山會是一大威脅。至於救生艇數量不足的問題，當時也有人提出警告，相關規範未能跟上船隻規模迅速增長的速度。
此外，撞上冰山的是左舷還是右舷，猜對的機率顯然是一半。至於羅伯森為筆下厄運纏身之船所選的名字，也沒什麼好訝異：如果要為一艘巨無霸船隻取個響亮的名號，「泰坦號」顯然會比「侏儒號」之類的名字更容易出線。
簡而言之，羅伯森想寫一個巨船的船難悲劇故事，故事要寫得逼真，多少會納入與鐵達尼號相近的事件跟特徵。因此他的寫作在選材上，根本就不是隨機的獨立事件。
一場世紀金融災難
美國投資銀行高盛歷經150多年的歷史，什麼大風大浪都見過。經濟繁榮、金融崩潰、股票泡沫、全球衰退……無論碰上什麼危機，高盛總是能夠安然度過。
但是在2007年8月，它卻一頭撞上堪稱金融界冰山群的危機，不得不對兩檔基金注資超過20億美元，免得它們沉入海底。高盛財務長大衛．維尼亞當天告訴記者的話，已是金融行家圈的名言：「我們已經連續好幾天，看到25個標準差的波動。」
就算是最資深的量化分析師，也無法理解維尼亞口中所說的25個標準差事件。這類事件實在太過奇特，就連標準公式也無法處理，必須經過特殊處理，才能在報表上把極低的機率打出來。
不可能碰到的事件
當數據處理好，答案卻令人訝異：根據他們聲稱，他們碰上的是平均每隔10的135次方年才會碰上一次的事件。這甚至已經超越天文數字了，因為這令人無法想像的時間尺度，甚至比宇宙生成還要久。而且，據維尼亞所言，高盛還不只碰到一次，是碰到好幾次。
沒錯，極罕見的事件有可能、也確實會發生，但是一連幾件同時報到，你不禁猜想，算出這些機率的方法，是不是哪裡出了問題？要計算這些機率，需要用到該事件所謂的或然率分配（probability distribution）；或然率分配有各種形狀跟大小，不過在金融界裡，每個人幾乎都不加思索，直接採用「鐘形曲線」。為什麼不？畢竟鐘形曲線不就是「常態分配」嗎？
維尼亞發表這段聲明的將近一個世紀前，假設事情「遵循常態」的概念開始流行時，就已經有人對此表示擔憂。1901年，英國統計學家卡爾．皮爾森率先檢驗聲稱無所不在的鐘形曲線，發現證據並不是很有說服力。他寫道：「我只能說，常態曲線……是極反常的現象。」
不符合常態分配
維尼亞的聲明為全球金融危機與衰退揭開序幕，衝擊在多年後仍然有感。這也引發了對於常態分配假設的激烈辯論，但這種辯論不是頭一遭。早在數十年前，就有明確的證據顯示，金融市場的表現並不符合常態分配。
備受景仰的英國財金數學家保羅．威摩特，在2000年就試著警告他的量化分析同儕，危險何在：「很明顯地，世界若要免於遭受肇因於數學家的市場崩解，我們亟需重新思考……模型背後的假設，如常態分配的重要性、消除風險、可量測的相關性，這些可能都是不正確的。」
言者諄諄，聽著藐藐。金融機構甚至賭更大，拿數學模型為他們的曝險部位背書。素來以「條款與細則」約束客戶的金融機構，似乎既不知道、也不在乎鐘形曲線的使用條款與細則。
美國國庫券市場在2014年10月，經歷了單日7.5個標準差的波動後，摩根大通執行長傑米．迪蒙告訴股東，這種事件理應幾十億年才會發生一次，但他緊接著就補上一句但書：美國國庫券市場也不過才200年左右的歷史，「這點應該會讓你們開始質疑，統計原理是不是有問題。」
機率思考：大數據時代，不犯錯的決斷武器
作者： 羅伯‧麥修斯
譯者： 高英哲
出版社：大牌出版
出版日期：2017/02/22